碎碎念（一） | vegetablefj

Published on: 2026-04-18 Last updated: 2026-04-18

M9

你说的对，但是$M_9$是一个72阶群，symplectic automorphism group的smooth cubic fourfold的方程总是可以写成

$$x_1^3+x_2^3+x_3^3-3(1-\sqrt{3})x_1x_2x_3+(\omega+\sqrt{-1}\omega^2)(y_1^3+y_2^3+y_3^3-3(1+\sqrt{3})y_1y_2y_3)$$

和

$$(\sqrt{-1}-\omega^2)(x_1y_1^2+x_2y_2^2+x_3y_3^2-(1-\sqrt{3})(x_1y_2y_3+y_1x_2y_3+y_1y_2x_3)) +x_1^2y_1+x_2^2y_2+x_3^2y_3-(1+\sqrt{3})(y_1x_2x_3+x_1y_2x_3+x_1x_2y_3)$$

的线性组合。在这些哥们里面，有两个的自同构群是$M_{10}$，除此之外最多是$H_{15}$，一个我不是特别认识的群，$M_9$的一个三次扩张。

这样的哥们到底存在不存在呢？

讯哥儿说这样的哥们存在，至少有一个，defining polynomial可以写成$x_1^3 + (\frac{3}{2}\xi_4 - \xi_6 + \frac{1}{2})x_1^2 x_2 + (-\frac{1}{2}\xi_4 + \frac{1}{2}\xi_6 + \frac{1}{2}\xi_{12} - 1)x_1 x_2^2 + (-\frac{1}{2}\xi_6 - \frac{1}{2}\xi_{12} + \frac{1}{2})x_2^3 + (\xi_4 - 2\xi_6 - \xi_{12} + 2)x_1^2 x_3 + (2\xi_{12} - 1)x_1x_2x_3 + (\frac{1}{2}\xi_4 + \frac{1}{2}\xi_6 - \frac{1}{2}\xi_{12})x_2^2 x_3 + (\xi_4 - 2\xi_6 + 1)x_1x_3^2 + (-\frac{3}{2}\xi_4 + \xi_6 + \xi_{12} - \frac{1}{2})x_2 x_3^2 + (-\frac{1}{2}\xi_6 + \frac{1}{2}\xi_{12} - \frac{1}{2})x_3^3 + (\xi_4 + \xi_6 - 1)x_1^2 x_4 + (-\xi_4 - \xi_6 + \xi_{12} - 1)x_1x_2x_4 + (-\frac{1}{2}\xi_4 - \frac{1}{2})x_2^2 x_4 + (2\xi_{12})x_1x_3x_4 + (\xi_6 - \xi_{12} - 1)x_2x_3 x_4 + (-\frac{3}{2}\xi_4 + \frac{1}{2}\xi_6 + \frac{3}{2}\xi_{12} - 1)x_3^2x_4 + (-\xi_6 - \xi_{12})x_1 x_4^2 + (-\frac{1}{2}\xi_4 + \frac{1}{2}\xi_6 + \frac{1}{2}\xi_{12})x_2 x_4^2 + (\frac{1}{2}\xi_4 + \xi_6 - \xi_{12} - \frac{1}{2})x_3x_4^2 + (-\frac{1}{2}\xi_6 + \frac{1}{2}\xi_{12} + \frac{1}{2}) x_4^3 + (\xi_{12} - 2)x_1^2x_5 + (-\xi_4 + 2\xi_6 - 1)x_1x_2 x_5 + (-\frac{1}{2}\xi_6 - \frac{1}{2}\xi_{12} + \frac{1}{2})x_2^2x_5 + (-2\xi_4 + 2\xi_6 + 2\xi_{12} - 2) x_1x_3x_5 + (\frac{1}{2}\xi_6 - \frac{1}{2}\xi_{12} + \frac{1}{2})x_3^2x_5 + (-2\xi_4)x_1x_4 x_5 + (\xi_6 - \xi_{12})x_2x_4x_5 + (\xi_4 - \xi_6 - \xi_{12})x_3x_4 x_5 + (-\frac{1}{2}\xi_4 + \xi_6 + \xi_{12} - \frac{1}{2})x_4^2x_5 + (\xi_6 - \xi_{12} + 1)x_1 x_5^2 + (\xi_4 - \frac{3}{2}\xi_6 - \frac{1}{2}\xi_{12} + \frac{1}{2})x_2 x_5^2 + (\frac{1}{2}\xi_6 - \frac{1}{2}\xi_{12} + \frac{1}{2})x_3 x_5^2 + (\frac{3}{2}\xi_4 - \frac{1}{2}\xi_6 - \frac{3}{2}\xi_{12} + 1)x_4 x_5^2 + (-\frac{1}{2}\xi_6 + \frac{1}{2}\xi_{12} - \frac{1}{2})x_5^3 + (\frac{1}{2}\xi_4 - \frac{3}{2}\xi_6 + \frac{1}{2}\xi_{12}) x_1^2x_6 + (-2\xi_4 + \xi_6 + \xi_{12} - 1)x_1x_2 x_6 + (\frac{1}{2}\xi_4 - 2\xi_6 - \xi_{12} + \frac{5}{2})x_2^2x_6 + (\xi_6 + \xi_{12} - 2)x_1x_3 x_6 + (\xi_6 - \xi_{12} - 1)x_2x_3x_6 + (-\frac{1}{2}\xi_4 + \frac{1}{2}\xi_6 + \frac{1}{2}\xi_{12})x_3^2 x_6 + (-2\xi_4 + 2\xi_{12})x_1x_4x_6 + (-\xi_4 + \xi_6 - \xi_{12})x_2x_4 x_6 + (-\xi_4 - 1)x_3x_4x_6 + (\frac{3}{2}\xi_6 - \frac{1}{2}\xi_{12} - \frac{1}{2})x_4^2 x_6 + (2\xi_6 - \xi_{12})x_1x_5x_6 + (\xi_4 - 2\xi_6 + 1)x_2x_5x_6 + (-\xi_{12} + 1) x_3x_5x_6 + (2\xi_4 - \xi_6 - 2\xi_{12} + 1)x_4x_5 x_6 + (-\frac{1}{2}\xi_4 - \xi_6 + \xi_{12} - \frac{1}{2})x_5^2x_6 + (-\frac{1}{2}\xi_4 + \xi_6 - \frac{1}{2})x_1 x_6^2 + (\frac{1}{2}\xi_4 - \frac{5}{2}\xi_6 + \frac{1}{2}\xi_{12} + 2)x_2 x_6^2 + (\frac{1}{2}\xi_4 - \xi_{12} + \frac{1}{2})x_3x_6^2 + (-\frac{1}{2}\xi_6 - \frac{1}{2}\xi_{12} + \frac{1}{2})x_4 x_6^2 + (-\frac{1}{2}\xi_4 - \frac{1}{2}\xi_6 + \frac{1}{2}\xi_{12})x_5 x_6^2 + (-\frac{1}{2}\xi_6 + \frac{1}{2}\xi_{12} + \frac{1}{2})x_6^3$，其中$\zeta_n$表示$n$次单位根。这样的神秘表示方法来自于GAP。
咱们之前的计算大概表明存在，还很像有两个。但是这两个到底一样不一样，和讯哥儿的是什么关系，还没有算清楚。
但是，这两天用Oscar.jl跑着代码，就发现lattice方面说没有这样的哥们！这集神了。

Anyway，算不动了，下班。

做梦

感觉我还挺喜欢做梦，尤其是精神状态没那么好的时候，时常做长长的，剧情很神秘的梦。

一直有印象小时候看过一些动画，其中的两部怎么都没有印象。其一或许真的完全是梦。其二我记得一些细节，尤其是人物们似乎都是，至少很接近SD高达。昨晚搜了搜，才知道世界上还真有那么几部SD高达动画，其中SD高达三国传应该最为出名。印象中的动画如果不是梦的话，最有可能是SD高达force，也有可能就是三国传。不过这些东西真的在金鹰卡通或者什么地方播过吗？

兴许以后开一个什么东西记录一下做过的梦。